Alexander Pope het dit in 'n rympie gestel: "Nature and Nature's Laws lay hid in night / God said 'Let Newton be,' and all was light." Dit is 'n wonderlike reël, maar dit oordryf die saak effens — want die wette wat Newton belig het, is reeds dekades vroeër empiries deur Johannes Kepler neergeskryf. Wat Newton eintlik gedoen het, en wat Spivak met ware strengheid in Hoofstuk 17 van Calculus deurloop, was om te wys dat Kepler se drie wette glad nie onafhanklike feite oor die hemele is nie. Dit is almal gevolge van een enkele hipotese: dat die son elke planeet trek met 'n krag wat reguit na die son wys, waarvan die sterkte afneem as die inverse kwadraat van die afstand. Alles anders — die ellipse, die uitgestrekte areas, die a³/T²-verhouding — volg uit daardie een aanname deur slegs die beginsels van differensiaal- en integraalrekening toe te pas.
Kepler se drie wette, presies gestel
Voordat ons aan enige afgeleide raak, is dit die moeite werd om presies te wees oor wat Kepler eintlik beweer het, aangesien die populêre weergawes geneig is om die besonderhede te vervaag. Spivak stel dit soos Kepler dit gepubliseer het: die eerste wet, van 1609, sê die planete beweeg in ellipse, met die son op een fokus — nie in die middel nie, op 'n fokus. Die tweede wet, dieselfde jaar gepubliseer, sê dat gelyke areas deur die radiusvektor in gelyke tye uitgestryk word — die segment wat die son met die planeet verbind, strek area teen 'n konstante tempo uit, so die planeet beweeg vinniger naby die son en stadiger ver weg. Die derde wet, wat Kepler nog tien jaar geneem het om te vind, verbind verskillende planete met mekaar: as a 'n planeet se orbitale hoofas is en T sy periode, dan is die verhouding a³/T² dieselfde getal vir elke planeet in die sonnestelsel.
Dit is drie afsonderlike empiriese feite oor drie afsonderlike kenmerke van 'n wentelbaan — sy vorm, sy tydsberekening en sy skaal relatief tot ander wentelbane. Daar is geen ooglopende rede waarom dit verwant moet wees nie. Newton se prestasie was om te wys dat hulle almal uit dieselfde fisiese wet voortspruit.
Die gelyke-area wet gaan eintlik oor sentrale kragte
Spivak begin met Newton se eie argument, wat heerlik anders is as moderne differensiaal- en integraalrekening: in plaas van 'n voortdurend wisselende krag, stel Newton hom voor dat die planeet vir 'n kort tydsinterval in 'n reguit lyn beweeg, dan 'n onmiddellike skop ontvang wat direk na die son gerig is, en dan weer voortbeweeg. 'n Kort parallelogramargument oor die resulterende driehoeke toon dat as die skop presies op die son gerig is, die twee uitgestrekte driehoeke gelyke oppervlakte het. Dit is nie 'n streng bewys volgens moderne standaarde nie, maar soos Spivak sê, "op sy eie bekoorlike manier wys dit fisies presies waarom die resultaat waar behoort te wees."
Die differensiaal- en integraalrekeningweergawe maak dit presies. Deur die planeet se pad as c(t) = r(t)·e(θ(t)) te beskryf, waar r die afstand van die son af is en θ die hoek, en e(t) = (cos t, sin t) te skryf, gee 'n kort berekening met die determinant die oppervlakte wat tot tyd t uitgestryk is as:
A′(t) = ½ det(c, c′) = ½ r²θ′
Kepler se tweede wet sê presies dat A′ konstant is, wat dieselfde is as om te sê A″ = 0, wat blykbaar ekwivalent is aan det(c, c″) = 0 — wat beteken dat die versnellingsvektor c″ altyd langs c self wys, reguit na (of weg van) die son. Dit is Spivak se Stelling 1: Kepler se tweede wet geld as en slegs as die krag sentraal is. Die oppervlakwet is glad nie 'n aparte feit oor swaartekrag nie — dit is 'n feit oor enige krag wat op 'n vaste punt gerig is, gravitasie of nie.
Van sentrale krag na ellips
Die moeiliker vraag is waarom 'n sentrale, inverse-kwadraat krag spesifiek 'n ellips produseer, eerder as een of ander ander kurwe. Hier verdien Spivak se bewys sy plek. Deur die inverse-kwadraat hipotese as c″(t) = −(H/r²)e(θ(t)) vir 'n konstante H te skryf, en dit te kombineer met die sentrale-krag verhouding r²θ′ = M (konstant), is die truuk om op te hou om c′ as 'n funksie van tyd te beskou en dit eerder as 'n funksie van die hoek θ te behandel — Spivak noem dit "die hooftruuk." Deur dit te doen, verander die vergelyking in iets wat direk, term vir term, geïntegreer kan word, wat 'n eksplisiete formule vir c′ produseer in terme van sin θ en cos θ en twee konstantes van integrasie. Deur dit terug in die oppervlakverhouding te vervang en te vereenvoudig (deur 'n veranderlike-veranderingstruuk uit 'n vroeëre hoofstuk te gebruik om 'n faseverskuiwing te elimineer) lewer die vergelyking van die wentelbaan self:
r [1 + ε cos θ] = Λ
wat presies die poolvergelyking is van 'n keëlsnit met die oorsprong — die son — op 'n fokus. Afhangende van die eksentrisiteit ε, is daardie keëlsnit 'n ellips (planete, periodieke komete), 'n parabool, of een tak van 'n hiperbool (objekte wat een keer deur die sonnestelsel beweeg en nooit terugkeer nie). Dit is Stelling 2, en Spivak bewys ook die omgekeerde (Stelling 4): as die wentelbaan wel 'n keëlsnit is met die son op 'n fokus, moet die krag 'n inverse-kwadraatwet gehoorsaam. Swaartekrag en die ellips bepaal mekaar.
Kepler se derde wet volg dan byna as 'n bonus. Aangesien die uitgestrekte oppervlakte A(t) = ½Mt is, wat die planeet deur 'n volle periode T laat loop, strek dit die hele ellips se oppervlakte uit, wat M = 2πab/T gee. Deur dit in die konstante van die wentelbaanvergelyking in te voer, word M²/Λ = 4π²a³/T² — en aangesien die linkerkant slegs afhang van konstantes uit Newton se kragwet, nie van watter planeet jy kyk nie, word die verhouding a³/T² gedwing om dieselfde te wees vir elke planeet, presies soos Kepler waargeneem het.
Waarom die strengheid die punt is
Dit sou maklik wees om hierdie hoofstuk as fisika in differensiaal- en integraalrekeningnotasie te behandel, maar dit mis wat werklik merkwaardig daaraan is. Kepler het sy drie wette gevind deur deur Tycho Brahe se waarnemingsdata te werk — suiwer empiriese patroonpassing, briljant maar onverklaard. Newton het, deur niks meer as afgeleides, determinante en 'n differensiaalvergelyking te gebruik nie, gewys dat al drie patrone deur 'n enkele hipotese oor krag afgedwing word. Dit is die soort kompressie wat bewysgebaseerde differensiaal- en integraalrekening lewer: nie "die planete doen toevallig dit nie," maar "enigiets wat 'n inverse-kwadraat sentrale krag gehoorsaam, moet dit doen, en net dit." Hoofstuk 17 is ook, heel doelbewus, 'n brug — Spivak noem dit 'n hoofstuk wat "afwyk van die hoofstroom van die boek om te demonstreer dat ons reeds in 'n posisie is om werklike fisika te doen," en dit open die deur direk na die gebied wat gedek word deur sy metgeselbundel, Physics for Mathematicians, Mechanics I, wat presies hierdie soort versigtige, differensiaal- en integraalrekening-eerste behandeling van meganika in meer besonderhede behandel.
As jy Newton se geometriese parallelogramargument, die volledige determinantbewys van Stelling 1, en die eksentrisiteitsberekening in Stelling 2 stap vir stap wil deurwerk, is Hoofstuk 17 in Spivak se Calculus, 4de Uitgawe — en dit is een van die mees bevredigende belonings in die hele boek vir die analitiese masjinerie wat oor die voorafgaande sestien hoofstukke opgebou is.
Watter deel van Newton se argument het jou meer verras: dat die gelyke-area-wet eintlik net 'n stelling oor sentrale kragte is, of dat die spesifieke inverse-kwadraatwet presies is wat nodig is om 'n ellips af te dwing? Vertel ons in die kommentaar.
