Vra die meeste mense wat 'n integraal is, en jy sal 'n weergawe van "die oppervlakte onder die kurwe" kry. Dit is nie heeltemal verkeerd nie — maar dit is die soort antwoord wat die werklike vraag stilweg ontduik. Wat is oppervlakte, presies, vir 'n streek begrens deur 'n wilde, kronkelende kurwe? Jy kan dit nie met eenheidsvierkante bedek en tel nie. Jy kan dit nie in driehoeke sny soos 'n meetkunde-handboekvorm nie. So, wat beteken die simbool ∫ eintlik, op 'n manier wat nie net na 'n prentjie terugwys nie?
Michael Spivak spandeer die openingsbladsye van Hoofstuk 13 van Calculus om jou nie met 'n prentjie te laat afkom nie. In plaas daarvan bou hy die integraal uit twee bestanddele wat jy werklik kan vaspen: partisies en somme van reghoeke, van beide kante af gedruk. Dit is een van die groot "wag, is dit dit?"-oomblikke in voorgraadse wiskunde — en dit is die moeite werd om dit stadig deur te loop, want die definisie doen werklik werk.
Die Probleem Met "Oppervlakte"
Spivak begin deur iets byna verleentheid uit te wys: elementêre meetkunde definieer nooit oppervlakte vir iets anders as die eenvoudigste vorms nie. 'n Sirkel met 'n radius van 1 het "natuurlik" 'n oppervlakte van π, maar probeer verduidelik wat "π vierkante" wat binne 'n sirkel pas, selfs beteken. As oppervlakte wankelrige grond is selfs vir 'n sirkel, is dit hopeloos as 'n grondslag vir die oppervlakte onder die grafiek van 'n willekeurige funksie.
Dus, in plaas daarvan om oppervlakte in die algemeen te probeer definieer, beperk Spivak die aandag tot 'n baie spesifieke soort streek: die een begrens deur die x-as, die vertikale lyne deur (a, 0) en (b, 0), en die grafiek van 'n begrensde funksie f op [a, b]. Noem hierdie streek R(f, a, b). Die getal wat ons uiteindelik daaraan toeken — hetsy f(x) ≥ 0 of nie — word die integraal van f op [a, b] genoem. Die woord "oppervlakte" kom later, as 'n spesiale geval.
Druk Van Beide Kante Af: Partisies en Somme
Hier is die werklike masjinerie. 'n Partisie van [a, b] is bloot 'n eindige stel punte t₀, t₁, …, tₙ met a = t₀ < t₁ < ⋯ < tₙ = b — 'n manier om die interval in n subintervalle te kap. Op elke subinterval [tᵢ₋₁, tᵢ], laat
- mᵢ = inf{f(x) : tᵢ₋₁ ≤ x ≤ tᵢ} — die grootste ondergrens van f op daardie deel
- Mᵢ = sup{f(x) : tᵢ₋₁ ≤ x ≤ tᵢ} — die kleinste bogrens
Let daarop dat dit infs en sups is, nie minima en maksima nie — f is nog nie as kontinu aanvaar nie, so dit mag nie eintlik daardie grense bereik nie. Hieruit definieer Spivak die laer som en bo-som van f vir die partisie P:
L(f, P) = Σ mᵢ(tᵢ − tᵢ₋₁) en U(f, P) = Σ Mᵢ(tᵢ − tᵢ₋₁)
L(f, P) is die totale oppervlakte van reghoeke wat gewaarborg is om binne die streek te lê; U(f, P) is die totale oppervlakte van reghoeke wat gewaarborg is om dit te bevat. Wat "oppervlakte" ook al uiteindelik beteken, dit moet tussen hierdie twee getalle lê, vir elke enkele partisie — maak nie saak hoe die interval opgesny word nie.
'n Kort lemma maak dit streng: die verfyning van 'n partisie (die toevoeging van meer punte) kan slegs laer somme opwaarts en bo-somme afwaarts druk, aangesien fyner reghoeke die kurwe stywer omhels. Van daardie lemma bewys Spivak Stelling 1: vir enige twee partisies P₁ en P₂ van [a, b], L(f, P₁) ≤ U(f, P₂) — elke laer som is onder elke bo-som, selfs dié wat uit heeltemal verskillende partisies gebou is. Dit beteken dat die stel van alle laer somme en die stel van alle bo-somme nooit kruis nie; daar is 'n gaping (moontlik nul) tussen sup{L(f, P)} en inf{U(f, P)}, en die integraal, as dit bestaan, moet in daardie gaping leef.
Die Definisie — en 'n Funksie wat dit Breek
Dit is waar Spivak uiteindelik verbind: 'n begrensde funksie f is integreerbaar op [a, b] as sup{L(f, P)} = inf{U(f, P)}, geneem oor alle partisies P. Wanneer hierdie gemeenskaplike waarde bestaan, word dit ∫ₐᵇ f genoem. Dit is die hele definisie — geen limiete van Riemann-somme is nog nodig nie, geen beroep op "oneindig dun reghoeke" nie. Net: konvergeer die beste moontlike laer benaderings en die beste moontlike bo-benaderings na dieselfde getal?
Hulle doen dit nie altyd nie. Spivak se standaard-teenvoorbeeld is die funksie gelyk aan 0 op die irrasionale getalle en 1 op die rasionale getalle, op enige interval [a, b]. Omdat elke subinterval, hoe klein ook al, beide 'n rasionale en 'n irrasionale getal bevat, is elke mᵢ = 0 en elke Mᵢ = 1, vir elke partisie. Dus is L(f, P) = 0 en U(f, P) = b − a altyd — die laer en bo-somme wyk nooit af nie, maak nie saak hoe fyn jy verdeel nie. Die gaping sluit nooit, en die funksie is eenvoudig nie integreerbaar nie. Dit is nie 'n tegniese kwessie nie; dit is die definisie wat korrek weier om 'n oppervlakte toe te ken aan 'n streek wat werklik te patologies is om een te hê.
Kontinuïteit Tot Die Redding
So, watter funksies is integreerbaar? Spivak bewys eers 'n gerieflike herformulering (Stelling 2): f is integreerbaar op [a, b] presies wanneer, vir elke ε > 0, 'n sekere partisie P bevredig U(f, P) − L(f, P) < ε — jy hoef nie sups en infs oor alle partisies te bereken nie, wys net dat die gaping arbitrêr klein gedruk kan word.
Daardie herformulering bewys dadelik sy nut in Stelling 3, waarskynlik die beloning van die hele hoofstuk: as f kontinu is op [a, b], dan is f integreerbaar op [a, b]. Die bewys leun op uniforme kontinuïteit — aangesien f uniform kontinu is op die geslote interval, kan jy 'n partisie kies wat fyn genoeg is sodat f met minder as ε/(b−a) op elke deel varieer, wat U(f, P) − L(f, P) < ε dwing. Kontinuïteit, soos dit blyk, is presies die reëlmatigheid wat 'n funksie nodig het om te waarborg dat sy laer en hoër benaderings konvergeer.
Spivak maak die definisie konkreet met f(x) = x² op [0, b]. Deur [0, b] in n gelyke dele te verdeel en die formule vir somme van vierkante te gebruik, bereken hy L(f, Pₙ) = (b³/n³) · ⅙(n−1)n(2n−1) en U(f, Pₙ) = (b³/n³) · ⅙(n+1)n(2n+1). Beide uitdrukkings druk af op b³/3 soos n groei, en aangesien L(f, Pₙ) ≤ b³/3 ≤ U(f, Pₙ) vir elke n terwyl die gaping na nul krimp, is b³/3 die enigste getal wat die integraal kan wees. Daarom is ∫₀ᵇ x² dx = b³/3 — 'n feit wat aan Archimedes bekend was, nou afgelei sonder 'n enkele beroep op "oppervlakte," suiwer uit die partisie-definisie wat presies gedoen het waarvoor dit gebou is.
Dit is die ware inhoud agter daardie vriendelike frase "oppervlakte onder die kurwe": 'n presiese druk tussen twee families reghoeksomme, en 'n stelling wat jou presies vertel wanneer die druk gewaarborg is om te werk. As jy die volle masjinerie wil sien — die bewys van die lemma, Stelling 1 se uniekheidsargument, en waar kontinuïteit sy uniforme-kontinuïteit-tande kry — is dit alles uiteengesit met Spivak se kenmerkende strengheid in Spivak se Calculus, 4de Uitgawe.
Voordat jy aangeneem het dat "oppervlakte onder die kurwe" die hele storie was — het jy al ooit gewonder waarom 'n funksie kontinu moet wees (of iets soortgelyks) sodat daardie oppervlakte selfs kan bestaan?
