Elke calculus-student leer op 'n stadium dat die afgeleide "die helling van die raaklyn" is. Dit is 'n netjiese frase, en dit is nie verkeerd nie — maar dit is ook nie 'n definisie nie. 'n Helling, in die sin wat jy in algebra geleer het, is die vertikale verandering oor die horisontale verandering tussen twee punte op 'n lyn. 'n Kromme het nie twee punte wat 'n raaklyn vaspen soos twee punte 'n sekant vaspen nie. Wat is dan, presies, die getal wat ons "die afgeleide" noem, en waarom lewer die presiese weergawe van die definisie soms 'n verrassende antwoord: glad geen afgeleide nie, selfs by 'n punt waar die funksie perfek kontinu is? Spivak se Calculus bestee die openingsbladsye van Hoofstuk 9 om presies hierdie definisie van nuuts af op te bou, en dit is die moeite werd om dit stadig deur te werk, want die beloning is 'n instrument wat werk selfs waar intuïsie faal.
Die Probleem Met "Vertikale Verandering Oor Horisontale Verandering"
Neem twee verskillende punte op die grafiek van 'n funksie f: die punt (a, f(a)) en 'n nabygeleë punt (a + h, f(a + h)), waar h net 'n nie-nul getal is. Hierdie twee punte bepaal 'n heeltemal gewone reguit lyn — 'n sekantlyn — en die helling daarvan is die bekende vertikale-verandering-oor-horisontale-verandering kwosiënt
[f(a + h) − f(a)] / h.
Hierdie kwosiënt is goed gedefinieer vir enige h ≠ 0, maak nie saak hoe vreemd die kromme op die punt tussenin is nie. Die probleem is dat dit die helling is van 'n lyn deur twee punte op die kromme — nie 'n lyn wat daaraan raaklynig is op 'n enkele punt nie. Soos Spivak opmerk, kan 'n raaklyn nie eenvoudig gedefinieer word as "'n lyn wat die grafiek net een keer raak nie": daardie kriterium is beide te streng (dit sou die raaklyn diskwalifiseer van 'n golwende kromme wat toevallig elders weer daardeur kruis) en te vrygewig ('n parabool sou dan twee "raaklyne" hê deur enige punt wat nie daarop is nie). Die eerlike pad vorentoe is om h na nul te laat krimp en te vra wat die sekanthellings doen terwyl hulle dit doen.
Die Werklike Definisie
Dit is die stap wat calculus calculus maak. In plaas daarvan om 'n enkele sekantlyn te kies, kyk ons na die hele familie daarvan, geïndekseer deur h, en neem 'n limiet:
limh→0 [f(a + h) − f(a)] / h
As hierdie limiet bestaan, word f differensieerbaar by a genoem, die limiet self word aangedui as f′(a), en die raaklyn aan die grafiek by (a, f(a)) word gedefinieer as die lyn deur daardie punt met helling f′(a). Let op wat gebeur het: "raaklyn" is nie 'n primitiewe geometriese idee wat beskryf word nie — dit is 'n konsep wat geheel en al uit die limiet opgebou is, en dit bestaan slegs wanneer daardie limiet bestaan. Dit is ook die definisie wat die fisiese beeld presies maak: as s(t) 'n deeltjie se posisie op tyd t gee, dan is [s(a + h) − s(a)] / h sy gemiddelde snelheid oor die interval van a tot a + h, en s′(a) — die limiet van daardie gemiddelde snelhede — is wat ons eintlik bedoel met "oombliklike snelheid," 'n hoeveelheid wat, streng gesproke, geen fisiese meting ooit direk produseer nie.
'n Uitgewerkte Voorbeeld: Differensieer x²
Die definisie is slegs nuttig as jy daarmee kan reken, so kom ons doen dit vir f(x) = x². Direk in die limiet ingeprop:
f′(a) = limh→0 [(a + h)² − a²] / h = limh→0 [a² + 2ah + h² − a²] / h = limh→0 (2a + h) = 2a.
Elke stap is algebra behalwe die laaste, waar die limiet bloot die uitdrukking 2a + h by h = 0 evalueer (daar is geen deling-deur-nul-probleem meer nie, want die oortredende h in die noemer het onderweg uitgekanselleer — daardie kansellasie is presies waarom die limiet bestaan). Dieselfde styl van berekening toon dat f(x) = x³ 'n afgeleide f′(a) = 3a² het, en dat enige lineêre funksie f(x) = cx + d oral die konstante afgeleide f′(a) = c het — wat sin maak, aangesien 'n lyn se raaklyn op enige punt net homself is.
Waar die Limiet Weier om te Bestaan: f(x) = |x|
Hier is die geval wat toon dat die definisie werklike tande het. Beskou f(x) = |x| by a = 0. Die differensiekwosiënt is
[f(0 + h) − f(0)] / h = |h| / h.
Vir h > 0 is |h| = h, dus is hierdie kwosiënt gelyk aan 1. Vir h < 0 is |h| = −h, dus is die kwosiënt gelyk aan −1. Die regterlimiet is 1; die linkerlimiet is −1. Aangesien hierdie verskil, bestaan limh→0 |h|/h eenvoudig nie, en f is nie differensieerbaar by 0 nie — al is f(x) = |x| oral kontinu, insluitend by 0, sonder enige gapings of spronge in sy grafiek. Geometries het die grafiek 'n skerp hoek daar, en geen enkele lyn is tegelykertyd raaklynig aan beide kante van die "V" nie. (Spivak se boek voer dit verder: f(x) = √|x| is selfs slegter gedra by 0, aangesien sy differensiekwosiënt onbeperk groei eerder as om bloot van elke kant te verskil, terwyl 'n verwante funksie soos x²sin(1/x) — uitgebrei deur f(0) = 0 — tog differensieerbaar by 0 blyk te wees, met f′(0) = 0, ondanks die oneindig gereelde ossillasie naby die oorsprong.)
Differensieerbaar Is Sterker As Kontinu
Die |x| voorbeeld is die konkrete gesig van 'n algemene stelling: differensieerbaarheid op 'n punt impliseer kontinuïteit daar, maar die omgekeerde is vals. Die bewys is kort — as f differensieerbaar is by a, dan is
limh→0 [f(a+h) − f(a)] = limh→0 { [f(a+h) − f(a)]/h } · h = f′(a) · 0 = 0,
en dit is presies die stelling dat f kontinu is by a. Dus is elke differensieerbare funksie kontinu — maar soos |x| toon, is baie kontinue funksies nie differensieerbaar nie, en die boek merk op dat dit moontlik is om 'n funksie te bou wat absoluut oral kontinu en absoluut nêrens differensieerbaar is nie. Differensieerbaarheid is 'n werklik sterker, meer delikate voorwaarde as blote kontinuïteit, en die limietdefinisie is presies wat ons toelaat om die twee te onderskei in plaas daarvan om net na 'n prentjie van 'n "gladde" kromme te gebaar.
Dit is die soort fondament wat alles later in calculus — die produkreël, die kettingreël, optimering, verwante tempo's — werklik betroubaar maak eerder as bloot aanneemlik. As jy hierdie definisie noukeurig, stap vir stap, opgebou wil sien, tesame met tientalle uitgewerkte voorbeelde en probleme wat toets of jy werklik verstaan waar die definisie kan faal, is dit die moeite werd om regtig tyd te spandeer met Spivak se Calculus, 4de Uitgawe.
Waar anders dink jy blyk "vanselfsprekende" geometriese intuïsie — soos 'n skerp hoek wat nie 'n raaklyn het nie — sulke noukeurige bewys nodig te hê?
