Sommige wiskundige feite voel te vanselfsprekend om bewys te hoef te word. As 'n kontinue funksie negatief begin en positief eindig, moet die grafiek daarvan sekerlik êrens tussenin die x-as sny – jy sou jou pen van die papier moes optel om dit te vermy. Michael Spivak wy 'n hele hoofstuk van sy Calculus daaraan om presies hierdie feit te bewys, en noem dit, sonder ironie, "Drie Moeilike Teoremas."
Waarom sou iets wat visueel so ooglopend is, werklike werk verg om te bewys? Omdat "vanselfsprekend uit 'n prentjie" en "waar vir elke kontinue funksie, insluitend dié wat te vreemd is om te teken" baie verskillende standaarde is – en calculus dring aan op die tweede een.
Teorema 1: Die Nul Moet Êrens Wees
Die eerste van die drie teoremas sê: as f kontinu is op [a, b] en f(a) negatief is terwyl f(b) positief is, dan is f(x) = 0 vir een of ander x in [a, b]. Dit word gewoonlik die Tussentydse Waarde Teorema genoem sodra dit effens veralgemeen word ('n kontinue funksie wat twee waardes aanneem, neem alles tussenin aan).
Hier is die kinkel wat wys waarom kontinuïteit oor die hele interval saak maak, nie net die meeste daarvan nie. Neem die funksie wat gelyk is aan −1 vir x onder √2 en 1 vanaf √2 vorentoe, op die interval [0, 2]. Dit is negatief by 0 en positief by 2 – maar dit is nooit gelyk aan 0 nie. Die funksie is kontinu by elke enkele punt van [0, 2] behalwe een: √2. Daardie enkele ontbrekende punt is genoeg om die gevolgtrekking heeltemal te vernietig. Die teorema is nie sonder rede kieskeurig nie; laat kontinuïteit selfs by een punt weg en dit kan heeltemal misluk.
Teorema 2: 'n Kontinue Funksie op 'n Geslote Interval Kan Nie Na Oneindigheid Ontsnap Nie
Die tweede teorema: as f kontinu is op die geslote interval [a, b], dan is f daar na bo begrens – die grafiek daarvan skiet nooit sonder limiet op nie. Weereens, die woord "geslote" is draagkragtig. Die funksie f(x) = 1/x is perfek kontinu op die oop interval (0, 1), maar dit is nie na bo begrens nie: soos x na 0 kruip, groei f(x) verby enige getal wat jy noem. Die teorema vereis die geslote interval [0, 1], waar die funksie ook by 0 gedefinieer sou moes word – en dit is eenvoudig nie, wat presies is waarom die teorema nie van toepassing is nie en begrensdheid kan misluk.
Teorema 3: Die Funksie Bereik Werklik Sy Hoogste Punt
Die derde teorema gaan verder as die tweede: 'n kontinue funksie op [a, b] bly nie net begrens nie – dit bereik werklik 'n maksimum waarde by 'n spesifieke punt in die interval. Dit is 'n betekenisvol sterker bewering. 'n Funksie kan na bo begrens wees sonder om ooit sy eie plafon aan te raak (stel jou 'n kromme voor wat vir ewig na 'n waarde van 1 klim sonder om dit heeltemal te bereik). Teorema 3 sluit dit uit vir kontinue funksies op geslote intervalle: êrens in [a, b] bereik die funksie presies sy hoogste punt.
Waarom Hierdie "Moeilik" Is
Elke teorema in die hoofstuk voor hierdie een het gegaan oor kontinuïteit op 'n enkele punt – 'n plaaslike eienskap, en relatief maklik om oor te redeneer. Hierdie drie teoremas beskryf gedrag oor 'n hele interval – 'n globale eienskap – en Spivak is openlik dat dit 'n ander orde van moeilikheid is. Trouens, hy wys dat Teoremas 1 tot 3 nie bewys kan word deur slegs die basiese algebraïese eienskappe van getalle wat vroeër in die boek behandel is, te gebruik nie. Probeer om die bewys van Teorema 1 direk te konstrueer – op soek na die heel eerste punt waar die funksie nul kruis – en die argument breek af op 'n verdagte spesifieke plek: jy kan wys dat so 'n punt benader word, maar nie dat dit werklik bereik word deur enige getal wat jy gegee is nie.
Die ontbrekende bestanddeel blyk die enkele belangrikste eienskap van die reële getalle te wees: die feit dat enige versameling getalle met 'n boonste grens 'n kleinste boonste grens het. Daardie eienskap – volledigheid – is waaraan die volgende hoofstuk van Calculus gewy is, en dit is wat Teoremas 1 tot 3 uiteindelik bewysbaar maak. Rasionale getalle alleen is nie genoeg nie; die rasionale getalle het gapings (daar is byvoorbeeld geen rasionale getal gelyk aan √2 nie), en daardie gapings is presies waar hierdie teoremas sou misluk.
Die Beloning: Waarom √2 Werklik Bestaan
Sodra Teorema 1 beskikbaar is, verdien dit byna onmiddellik sy plek. Beskou die funksie f(x) = x². Dit is kontinu, f(0) = 0, en f(b) is groter as enige getal α wat jy wil hê sodra b groot genoeg is. Dus begin f onder α en eindig bo dit – en deur Teorema 1 (in sy effens veralgemeende vorm), moet f werklik gelyk wees aan α êrens tussenin. Met ander woorde: elke positiewe getal het 'n vierkantswortel. Nie "ongeveer" nie, nie "as 'n limiet" nie – 'n werklike getal x met x² = α, gewaarborg om te bestaan deur dieselfde teorema wat waarborg dat 'n kontinue kurwe nul kruis.
Dieselfde idee, 'n bietjie verder gevoer, bewys dat elke polinoomvergelyking van onewe graad 'n reële wortel het, en bepaal presies watter polinoomvergelykings van ewe graad dit doen. Drie teoremas wat lyk asof dit gratis behoort te wees, ontsluit 'n werklik groot stuk algebra.
Dit is die patroon wat deur al Spivak se Calculus loop: die feite wat te vanselfsprekend lyk om te bewys, is gewoonlik dié wat die interessantste wiskunde verberg. Hoofstukke 7 en 8 – Drie Moeilike Teoremas en Kleinste Boonste Grense – is waar daardie patroon die duidelikste na vore kom.
As jy die volledige bewyse wil sien (insluitend die slim argument vir presies waar volledigheid ter sprake kom), Spivak se Calculus, 4de Uitgawe loop deur alles, van die foutiewe "bewys" van Teorema 1 tot die korrekte een, ongewoon eerlik vir 'n handboek.
Watter "vanselfsprekende" feit het jou die langste geneem om te aanvaar dat dit werklik 'n bewys nodig gehad het? Vertel ons in die kommentaar.
