'n Vraag Wat Te Eenvoudig Klink Om 'n Bewys Nodig Te Hê
As jy 60 myl in een uur ry, moet jou spoedmeter op 'n sekere oomblik presies 60 myl per uur aangedui het. Nie "naby" 60 nie – presies 60. Dit voel vanselfsprekend: jy kan nie 'n gemiddeld van 60 behaal sonder om ooit 60 te bereik nie, net soos jy nie 'n gemiddeld van twee grade van 70 en 90 kan behaal sonder dat 'n graad tussenin, sê maar 80, langs die pad val nie. Maar differensiaalrekening vra 'n skerper vraag: hoekom moet dit waar wees, vir enige differensieerbare funksie hoegenaamd, nie net vir motors nie? Die antwoord is die Middelwaardestelling, en Spivak noem dit, sonder oordrywing, "waarskynlik die diepste resultaat oor afgeleides." Om daar te kom, verg eers een slim opwarmingsstelling.
Rolle se Stelling: Die Maklike Geval
Veronderstel 'n funksie f is kontinu op [a, b] en differensieerbaar op (a, b), en veronderstel dit begin en eindig op dieselfde hoogte: f(a) = f(b). Rolle se Stelling sê daar moet 'n punt x streng tussen a en b wees waar f′(x) = 0 — die grafiek moet êrens tussenin gelyk maak.
Die bewys steun op 'n stelling oor maksima wat werklik maklik is: as f 'n maksimum of minimum by 'n binne-punt x het en daar differensieerbaar is, dan is f′(x) = 0. (Stel jou voor: sekantlyne van links het 'n helling ≥ 0, sekantlyne van regs het 'n helling ≤ 0, en die enigste manier waarop albei limite kan ooreenstem, is as die afgeleide presies 0 is.) Aangesien f kontinu is op 'n geslote interval, is dit gewaarborg om 'n maksimum en 'n minimum êrens op [a, b] te bereik. Spivak se bewys verdeel dan in gevalle: as òf die maksimum òf die minimum by 'n binne-punt voorkom, is daardie punt jou x, en die afgeleide verdwyn daar deur die bogenoemde stelling. Die enigste oorblywende moontlikheid is dat beide die maksimum en die minimum by die eindpunte is — maar aangesien f(a) = f(b), sou dit die maksimumwaarde dwing om gelyk te wees aan die minimumwaarde, wat beteken f is konstant oor die hele interval. En vir 'n konstante funksie is die afgeleide oral 0, so letterlik enige binne-punt werk.
Elke geval is gedek, en nie een daarvan het 'n moeilike argument vereis nie. Dit is die hele bewys.
Van Rolle se Stelling na die Middelwaardestelling
Rolle se Stelling is eintlik net die Middelwaardestelling in die spesiale geval waar die twee eindpunte toevallig dieselfde hoogte het. Die truuk vir die algemene geval is om daardie spesiale geval uit die niet te skep. Gegewe enige kontinue, differensieerbare f op [a, b], trek die reguit lyn L wat (a, f(a)) aan (b, f(b)) verbind, en definieer 'n nuwe funksie h wat die vertikale gaping tussen f en daardie lyn meet:
h(x) = f(x) − [ (f(b) − f(a))/(b − a) ] (x − a) − f(a)
Hierdie h erf kontinuïteit en differensieerbaarheid van f, en 'n vinnige kontrolering wys h(a) = 0 en h(b) = 0 — presies die gelyke-eindpunte opset wat Rolle se Stelling benodig. Daar is dus 'n x in (a, b) met h′(x) = 0. Deur h te differensieer en die resultaat op nul te stel by daardie x, bly jy oor met:
f′(x) = [ f(b) − f(a) ] / (b − a)
Dit is die Middelwaardestelling: die oombliklike tempo van verandering op 'n sekere punt in die interval is presies gelyk aan die gemiddelde tempo van verandering oor die hele interval. Geometries is die raaklyn by daardie misterie-punt x parallel aan die sekantlyn wat die twee eindpunte verbind. Terug na die ry-voorbeeld: as f(t) jou posisie op tyd t is, dan is [f(b) − f(a)] / (b − a) jou gemiddelde spoed oor die rit, en f′(x) is jou oombliklike spoed op 'n sekere oomblik x. Die stelling waarborg dat hulle ten minste een keer saamval. Jou spoedmeter het geen keuse in die saak nie.
Die Beloning: Hoekom Nul Snelheid Oral Beteken Jy Nooit Beweeg Het Nie
Dit is waar die stelling ophou om 'n nuuskierigheid te wees en begin om werklik te werk. Oorweeg 'n vraag wat Spivak as bedrieglik moeilik stel: as f′(x) = 0 vir elke x, moet f 'n konstante funksie wees? Fisies lyk dit onvermydelik — as 'n deeltjie se snelheid altyd nul is, beweeg die deeltjie sekerlik nooit. Maar "vanselfsprekende" fisiese intuïsie en "bewese" is verskillende dinge, en die definisie van die afgeleide as 'n limiet van differensiekwosiënte gee geen vanselfsprekende aanknopingspunt om enigiets oor die funksie se werklike waardes af te lei nie.
Die Middelwaardestelling verskaf die ontbrekende brug, in een reël. Neem enige twee punte a en b in die domein met a ≠ b. Volgens die stelling is daar 'n x tussenin met:
f′(x) = [ f(b) − f(a) ] / (b − a)
Maar f′(x) = 0 oral, volgens hipotese. Dus moet die regterkant ook gelyk wees aan 0, wat f(b) = f(a) afdwing. Aangesien a en b arbitrêr was, stem elke twee waardes van f ooreen — dit wil sê, f is konstant. Wat soos 'n onoplosbare vraag oor limite gelyk het, stort in 'n twee-lyn-argument inmekaar sodra die Middelwaardestelling beskikbaar is.
Dieselfde idee, toegepas met 'n ongelykheid in plaas van 'n gelykheid, bewys iets wat jy waarskynlik gebruik het sonder om ooit te sien hoe dit geregverdig word: as f′(x) > 0 vir elke x in 'n interval, dan neem f toe op daardie interval. Neem a < b in die interval; die stelling gee 'n x met f′(x) = [f(b) − f(a)]/(b − a), en aangesien die linkerkant positief is en b − a > 0, volg dit dat f(b) − f(a) > 0, d.w.s. f(b) > f(a). Hierdie enkele feit is die enjin agter byna elke "teken van die afgeleide vertel jou waar die funksie styg en daal" argument wat jy ooit in 'n differensiaalrekeningkursus sal teëkom — en dit is nie 'n aanname nie. Dit is 'n direkte gevolg van die Middelwaardestelling.
'n Stelling Wat Sy Naam Waardig Is
Dit is die moeite werd om te let op hoe ongewoon dit is. Die meeste van die afgeleide reëls wat jy vroeg leer – die magreël, die produkreël – vertel jou hoe om f′ te bereken sodra jy f ken. Die Middelwaardestelling loop in die teenoorgestelde rigting: dit onttrek harde inligting oor f self uit niks anders as inligting oor f′ nie. Daardie omkering is presies hoekom Spivak dit die diepste resultaat oor afgeleides in die hele boek noem, en hoekom grafiektekene, optimalisering, en die hele teorie van toenemende en afnemende funksies alles stilswyend daarvan afhang.
Spivak se Calculus, 4de Uitgawe bou na hierdie stelling oor die hele Hoofstuk 11, "Betekenis van die Afgeleide," en werk van die maksimum-punt lemma, deur Rolle se Stelling, na die Middelwaardestelling en die korollariums daarvan — elke stap klein genoeg om met die hand te verifieer, die hele ketting sterk genoeg om alles te regverdig wat jy reeds op grond van intuïsie alleen oor afgeleides geglo het.
Volgende keer as jy 'n lang rit onderneem, kan jy jouself oortuig — met niks anders as die definisie van gemiddelde spoed nie — dat een of ander oomblik presies daarmee ooreengestem het?
