Hier is 'n vreemde feit wat maklik misgekyk word sodra jy dit deeglik geleer het: niks oor die verdeling van 'n gebied in reghoeke en die optelling van hul oppervlaktes behoort enigsins te make te hê met die vinding van die helling van 'n raaklyn nie. Een proses akkumuleer; die ander lokaliseer. Een vra "hoeveel, in totaal, oor hierdie hele interval?" Die ander vra "hoe vinnig, presies op hierdie oomblik?" En tog blyk hierdie twee konstruksies—onafhanklik gebou, om verskillende redes, met heeltemal verskillende limietargumente—mekaar presies ongedaan te maak. Daardie feit het 'n naam: die Fundamentele Stelling van Calculus. Dit is nie 'n rekenkundige truuk nie. Dit is 'n opregte, verrassende stelling, en Michael Spivak se Calculus wy sy Hoofstuk 14 daaraan om dit met die sorg wat dit verdien te bewys.
Twee Konstruksies Wat Nie Verwantskap Moet Hê Nie
Niks in die definisie van die integraal noem afgeleides nie. Niks in die definisie van die afgeleide noem oppervlakte nie. Jy kan jou 'n wiskundige heelal voorstel waar die "oppervlaktefunksie" van 'n kromme een of ander wilde, onverwante voorwerp is sonder 'n skoon verwantskap met die kromme se helling. Die Fundamentele Stelling van Calculus is die stelling dat ons nie in daardie heelal leef nie.
Die Stelling Self
Spivak stel dit so. Laat f integreerbaar wees op [a, b], en definieer 'n nuwe funksie F deur sy waarde by x die opgehoopte oppervlakte van a tot by x te laat wees:
F(x) = ∫ax f
Stelling 1 (Die Eerste Fundamentele Stelling van Calculus). Indien f kontinu is by c in [a, b], dan is F differensieerbaar by c, en
F′(c) = f(c).
Lees dit weer stadig, want dit is die hele verrassing wat in vier simbole verpak is. F is gebou deur oppervlakte te akkumuleer—'n globale, kumulatiewe proses wat in beginsel afhanklik is van die hele geskiedenis van f van a tot c. Tog blyk sy afgeleide by c—'n suiwer plaaslike, oombliklike hoeveelheid—gelyk te wees aan niks meer eksoties as die hoogte van die oorspronklike kromme op daardie enkele punt nie. Al daardie opgehoopte inligting stort, onder differensiasie, terug neer na een getal: f(c) self.
Hoekom dit Waar is: Die Knyp in die Hart van die Bewys
Die bewys is 'n pragtige voorbeeld van die knyp van 'n hoeveelheid tussen twee grense wat albei na dieselfde limiet konvergeer. Beskou F(c + h) − F(c), wat net die oppervlakte van die dun strokie van c tot c + h is. Laat mh die kleinste waarde wees wat f op daardie strokie aanneem, en Mh die grootste. Aangesien die strokie se oppervlakte vasgevang is tussen die oppervlaktes van die ingeskrewe en omgeskrewe reghoeke wat uit daardie uiterstes gebou is,
mh · h ≤ F(c + h) − F(c) ≤ Mh · h,
wat na deling deur h gee
mh ≤ [F(c + h) − F(c)] / h ≤ Mh.
Nou kom die enigste plek waar kontinuïteit sy waarde bewys: omdat f kontinu is by c, word beide mh en Mh gedwing om na f(c) te konvergeer soos h → 0—die strokie word so dun dat sy hoogste en laagste waardes albei afknyp tot die waarde presies by c. Die verskilkwosient wat F′(c) definieer, is vasgevang tussen twee dinge wat na f(c) konvergeer, so dit konvergeer ook daarheen. Dit is die hele argument (Spivak hanteer h < 0 met 'n spieëlweergawe). Geen eksotiese masjinerie nie—net 'n knyp, en die nederige waarneming dat 'n kontinue funksie nie kan rondspring op 'n krimpende interval nie.
'n Uitgewerkte Voorbeeld, en Waar die Opbrengs Land
Die Eerste Fundamentele Stelling vertel jou F is 'n afgeleide van f. Draai dit om en jy kry die instrument wat almal eintlik gebruik om integrale te bereken—Spivak se Gevolgtrekking (verhoog tot die Tweede Fundamentele Stelling sodra dit bewys is dat dit selfs vir bloot integreerbare, nie noodwendig-kontinue, f geld): as f = g′ vir 'n funksie g, dan
∫ab f = g(b) − g(a).
Hier is die konkrete geval. Neem f(x) = x². Jy weet toevallig van 'n funksie waarvan die afgeleide x² is, naamlik g(x) = x³/3, aangesien g′(x) = x² volgens die magreël. Die stelling sê jy kan laer en boonste somme heeltemal oorslaan:
∫ab x² dx = b³/3 − a³/3.
Dieselfde redenasie gee ∫ab xn dx = (bn+1 − an+1)/(n + 1) vir enige natuurlike getal n—'n formule wat andersins dieselfde moeitevolle som-van-magte skattings sou vereis wat gebruik is om die integraal in die eerste plek te definieer. Wat vroeër bladsye van ongelykhede geneem het, neem nou een lyn, want differensiasie en integrasie is inverse bewerkings.
Maar let op dat die stelling op twee maniere werk, en dit is waar dit werklik nuttig word eerder as net netjies: dit skep ook funksies wat jy nie voorheen gehad het nie. Spivak wys daarop dat as f(x) = 1/x vir x > 0, dan
g(x) = ∫1x (1/t) dt
voldoen aan g′(x) = f(x)—en "ons ken geen eenvoudiger funksie g met hierdie eienskap nie," soos die teks dit stel. Die integraal is nie net 'n rekenkundige kortpad hier nie; dit is die enigste instrument wat jou hoegenaamd hierdie funksie gee (dit sal uiteindelik die naam ln x verdien, maar jy hoef dit nog nie te weet om die punt te sien nie). Elke kontinue funksie, maak nie saak hoe onbekend nie, is in die geheim die afgeleide van iets, en die integraal is wat daardie iets konstrueer.
Voortbou op die Stelling: Kettingreël Ontmoet Akkumulasie
Sodra F bekend is om differensieerbaar te wees met F′ = f, gedra dit hom soos enige ander differensieerbare funksie onder komposisie. Spivak werk deur funksies soos f(x) = ∫ax³ 1/(1 + sin² t) dt, wat eintlik F saamgestel is met die derdemagfunksie—so die Kettingreël gee jou f′(x) = 3x²/(1 + sin² x³) sonder om ooit te hoef te weet hoe die antiderivaat van 1/(1 + sin² t) eintlik lyk. Dit is die ware krag van Stelling 1: dit laat jou deur 'n integraalteken differensieer so nonchalant soos deur enige ander funksie, want die stelling het jou reeds belowe dat die integraal is differensieerbaar, en jou presies vertel wat sy afgeleide is.
As hierdie soort argument—versigtig, verrassend, en uiteindelik verhelderend eerder as net formule-genererend—is wat jy meer van wil hê, is Hoofstuk 14 die moeite werd om volledig te lees, bewyse ingesluit, saam met die res van Spivak se Calculus, 4de Uitgawe, wat die hele teorie van afgeleides en integrale van die grond af opbou voordat dit jou ooit 'n kortpad laat neem.
Voordat jy die bewys hierbo gelees het, kon jy raai waarom kontinuïteit van f op 'n enkele punt presies die bestanddeel is wat nodig is om F′(c) = f(c) daar waar te maak?
