Almal leer die kettingreël op dieselfde manier: om 'n samestelling te differensieer, vermenigvuldig die afgeleide van die buitekant met die afgeleide van die binnekant. Dit is vinnig, dit is meganies, en na 'n paar dosyn oefenprobleme word dit outomaties. Wat byna niemand sien nie, is die bewys — en dit is jammer, want die bewys bevat 'n werklik slinkse strik, die soort ding wat "die gebruik van differensiaalrekening" skei van "verstaan waarom differensiaalrekening waar is."
Die bewys wat klaar lyk
Begin by die definisie van die afgeleide van 'n samestelling f ∘ g by 'n punt a:
(f ∘ g)′(a) = limh→0 [f(g(a+h)) − f(g(a))] / h
Die natuurlike stap is om te vermenigvuldig en te deel deur g(a+h) − g(a):
limh→0 [f(g(a+h)) − f(g(a))] / [g(a+h) − g(a)] · [g(a+h) − g(a)] / h
Soos h nul nader, nader die tweede faktor g′(a) per definisie. En die eerste faktor lyk presies soos die verskilkwosiënt vir f, geëvalueer by g(a), wat f′(g(a)) behoort te nader. Vermenigvuldig die twee limiete met mekaar en jy is klaar: (f ∘ g)′(a) = f′(g(a)) · g′(a). Dit lyk volledig. Dit is nie 'n bewys nie.
Die verborge strik
Die probleem is 'n enkele stil aanname: dat g(a+h) − g(a) nooit nul is vir h naby 0. As dit nul is, het jy sopas deur nul gedeel — en differensiaalrekening vergewe dit nie, maak nie saak hoe klein die fout lyk nie.
Hier is 'n funksie waar dit werklik gebeur, al is g nêrens naby a konstant nie. Laat a = 0 en
g(x) = x² sin(1/x) vir x ≠ 0, en g(0) = 0.
Hierdie funksie ossilleer vinniger en vinniger soos x nul nader, en kruis nul oneindig baie kere in elke interval rondom 0, hoe klein dit ook al mag wees. Dit beteken g(0 + h) − g(0) = g(h) is presies 0 vir oneindig baie waardes van h arbitrêr naby aan 0 — so die "vanselfsprekende" bewys hierbo probeer oneindig keer deur nul deel, reg in die limiet waaroor ons die meeste omgee. En dit is nie een of ander eksotiese patologie wat doelbewus uitgedink is om dinge te breek nie: g is oral differensieerbaar, insluitend by 0. Die naïewe bewys faal op 'n perfek goedgedraende funksie.
Die oplossing: Bou 'n funksie wat nie omgee nie
Die uitweg is 'n klein stukkie ingenieurswese. Definieer 'n nuwe funksie φ wat gelyk is aan die lastige verskilkwosiënt wanneer dit veilig is om te bereken, en gelyk is aan f′(g(a)) — die waarde wat ons wil hê — wanneer dit nie is nie:
φ(h) = [f(g(a)+k) − f(g(a))] / k as k = g(a+h) − g(a) ≠ 0, en φ(h) = f′(g(a)) as k = 0.
Die hele bewys berus nou op een bewering: φ is kontinu by 0. Dit verg sorgvuldige epsilon-delta werk (differensieerbaarheid van f by g(a) waarborg dat φ op die eerste manier optree; kontinuïteit van g by a — wat volg uit differensieerbaarheid — hou k klein wanneer h klein is), maar sodra dit vasgestel is, is die uitbetaling onmiddellik. Vir elke h ≠ 0, of g(a+h) − g(a) toevallig nul is of nie, is dit eenvoudig waar dat:
[f(g(a+h)) − f(g(a))] / h = φ(h) · [g(a+h) − g(a)] / h
Kyk afsonderlik na die geval k = 0 en jy sal sien dat beide kante net 0 is — so die vergelyking geld onvoorwaardelik, geen onwettige deling nêrens nie. Neem die limiet as h → 0 van die regterkant, met behulp van die kontinuïteit van φ by 0, en jy kry presies f′(g(a)) · g′(a). Die kettingreël val skoon uit.
Waarom hierdie truuk die moeite werd is om te onthou
Dit is 'n patroon wat weer en weer verskyn sodra jy regte bewyse in analise begin lees: 'n natuurlike argument breek op 'n deel-deur-nul randgeval wat te skaars lyk om saak te maak, en die oplossing is om 'n hulpfunksie te bou wat die slegte geval per definisie absorbeer, en dan te wys dat die funksie kontinu is sodat die limiet in elk geval deurgang vind. Dit is 'n klein stukkie vakmanskap, en dit is die soort stap wat jy net ooit sien as 'n boek bereid is om die kettingreël te bewys in plaas daarvan om dit net vir jou te gee.
Dit is presies die vlak van sorg wat Michael Spivak se Calculus neem met elke reël wat jy vinnig geleer het om in 'n rekenkundige kursus te gebruik — die produkreël, die kwosiëntreël, en veral die kettingreël, wat die boek "die belangrikste" differensiasieformule noem en dienooreenkomstig behandel.
As jy die volledige epsilon-delta argument wil hê waarom φ kontinu is by 0 (dit is kort, en bevredigend sodra jy dit sien), werk Spivak se Calculus, 4de Uitgawe dit deur in Hoofstuk 10.
Het jy al voorheen 'n regte bewys van die kettingreël gesien, of net die reël self? Laat weet ons in die kommentaar.
