Elke kalkulusstudent leer die horisontale lyn-toets: as geen horisontale lyn die grafiek van f meer as een keer kruis nie, het f 'n inverse. Dit is 'n handige skets-kontrole, maar dit is ook, streng gesproke, nie 'n definisie nie—dit is 'n prentjie. Wat beteken dit eintlik vir 'n funksie om 'n inverse te hê, en watter instrument uit kalkulus laat ons dit bewys sonder om enigiets te teken? Die antwoord verbind een van die mees basiese idees in die vak — die teken van 'n afgeleide — met een van die nuttigste konstruksies: die inverse funksie.
Een-tot-een: Die Definisie Agter die Prentjie
Begin met wat 'n inverse eintlik is. As f 'n versameling pare (a, b) is, is sy inverse f−1 eenvoudig die versameling wat jy kry deur elke paar om te keer: (b, a) is in f−1 wanneer (a, b) in f is. Om die pare van enige funksie om te keer, produseer altyd 'n versameling pare — die vraag is of daardie versameling self 'n funksie is. Dit misluk presies wanneer twee verskillende insette vir f 'n uitset deel, want dan sou f−1 daardie een gedeelde waarde na twee verskillende plekke moes stuur, wat geen funksie kan doen nie.
Dit is presies die toestand wat wiskundiges een-een (of een-tot-een) noem: f is een-een as f(a) ≠ f(b) wanneer a ≠ b. Dit gee die werklike stelling wat agter die horisontale-lyn-toets folklore skuil:
Stelling 1. f−1 is 'n funksie as en slegs as f een-een is.
Die horisontale lyn-toets is net 'n visuele herhaling hiervan: twee punte op die grafiek op dieselfde hoogte sou beteken f(a) = f(b) vir een of ander a ≠ b, wat presies die mislukking van een-eenheid is. Nuttig vir 'n vinnige blik op 'n grafiek — maar nie 'n bewys nie, en nie iets wat jy kan toepas op 'n funksie wat jy net kan bereken, nie sien nie.
Die Stelling wat Kalkulus Noodsaaklik Maak
Hier is waar kalkulus eintlik sy nut bewys. Dit is maklik om te sien dat 'n toenemende funksie (een waar a < b impliseer f(a) < f(b)) of 'n afnemende funksie outomaties een-een is: verskillende insette, op een manier gerangskik, dwing uitsette op dieselfde manier gerangskik, sodat hulle nooit kan saamval nie. Die werklik nuttige feit is die omgekeerde, ten minste vir kontinue funksies op 'n interval:
Stelling 2. As f kontinu en een-een op 'n interval is, dan is f óf toenemend óf afnemend op daardie interval.
Die bewys is 'n skoon toepassing van die Tussenwaarde-stelling. Veronderstel a < b < c is drie punte in die interval en, sê, f(a) < f(c). As f(b) < f(a) was, sou die Tussenwaarde-stelling op [b,c] 'n punt presies tussen b en c lewer waar f gelyk is aan f(a) — wat in stryd is met die feit dat f een-een is. 'n Simmetriese argument sluit f(b) > f(c) uit, wat f(a) < f(b) < f(c) afdwing. Deur genoeg drielinge punte op hierdie manier saam te snoer, wys dat die hele funksie monotoon moet wees.
Dit is die ware, nie-prentagtige inhoud agter "slaag die horisontale lyn-toets": op 'n interval, dwing injektiwiteit en kontinuïteit saam streng monotonisiteit af. En streng monotonisiteit is waar die afgeleide inkom, aangesien 'n positiewe afgeleide deur 'n interval f dwing om daar toe te neem, en 'n negatiewe afgeleide dwing dit om af te neem. So in die praktyk is die kalkulustoets vir inverteerbaarheid op 'n interval: kontroleer die teken van f′. As f′(x) > 0 deurgaans (of f′(x) < 0 deurgaans), is f streng monotoon, dus een-een, dus inverteerbaar op daardie interval — geen prentjie nodig nie.
'n Werkende Voorbeeld: Ongelyke Magte en Hul Wortels
Neem f(x) = xn vir onewe n, gedefinieer vir alle reële x. Die afgeleide daarvan is f′(x) = nxn−1, en aangesien n − 1 ewe is, is xn−1 ≥ 0 vir elke x, met gelykheid slegs by x = 0. Dus f′(x) > 0 vir alle x ≠ 0, wat genoeg is om te waarborg dat f oor die hele R toeneem — die enkele geïsoleerde nul van die afgeleide by x = 0 verbreek nie monotonisiteit nie. Daarom is f een-een, en sy inverse gn(x) = x1/n (die n-de wortel) is 'n egte funksie.
Nou vir die resultaat: die formule vir die afgeleide van 'n inverse.
Stelling 5. Laat f 'n kontinue een-een funksie wees wat op 'n interval gedefinieer is, en veronderstel f is differensieerbaar by f−1(b), met f′(f−1(b)) ≠ 0. Dan is f−1 differensieerbaar by b, en
(f−1)′(b) = 1 / f′(f−1(b))
Dit sê die helling van die inverse se grafiek op 'n punt is die resiprook van die helling van die oorspronklike grafiek op die ooreenstemmende punt — wat sin maak as jy f−1 se grafiek as f se grafiek beskou wat oor die lyn y = x gereflekteer is: die reflekteer van 'n lyn met helling m oor y = x gee 'n lyn met helling 1/m.
Deur dit toe te pas op gn(x) = x1/n: vir x ≠ 0,
gn′(x) = 1 / fn′(gn(x)) = 1 / [n(x1/n)n−1] = (1/n) · x(1/n)−1.
Dit is die bekende magswet vir breukeksponente — afgelei, nie veronderstel nie, direk uit die inverse funksie formule.
Wanneer die Formule Jou Waarsku
Die voorwaarde f′(f−1(a)) ≠ 0 is nie 'n tegniese fynheid nie; dit is noodsaaklik. Stelling 4 in die boek stel die skerper, waarskuwende helfte van die verhaal: as f′(f−1(a)) = 0, dan is f−1 gewaarborg om nie by a differensieerbaar te wees nie — want as dit wel was, sou die kettingreël toegepas op f(f−1(x)) = x dwing dat f′(f−1(a)) · (f−1)′(a) = 1, en jy kan nie 0 met iets vermenigvuldig om 1 te kry nie. Die handboekvoorbeeld is f(x) = x3: aangesien f′(0) = 0, is sy inverse f−1(x) = x1/3 nie differensieerbaar by x = 0 nie — presies waar daardie beroemde vertikale raaklyn op die derdemagswortelgrafiek verskyn. Die afgeleide-van-die-inverse formule bereken nie net 'n helling nie; dit vertel jou, vooraf, presies waar die helling ophou bestaan.
Niks hiervan nie — die presiese definisie van een-een, die stelling wat kontinuïteit en injektiwiteit aan monotonisiteit verbind, die resiproke-helling formule, en die skerp waarskuwing oor waar dit faal — is folklore of hand-waai. Dit is streng, en dit is presies die soort argument wat "lykt waar uit die grafiek" verander in "is waar, bewysbaar." As jy die volledige bewyse (insluitend die moeiliker kontinuïteitsargument vir f−1 wat hierdie stuk net geskets het) wil sien uiteengesit met dieselfde meedoënlose presisie, is Hoofstuk 12 van Spivak se Calculus, 4de Uitgawe waar dit alles leef, probleme ingesluit.
Kan jy 'n funksie vind wat een-een op 'n interval is, maar nêrens op dit toenemend of afnemend is nie — en indien wel, wat sê dit jou oor die rol wat kontinuïteit in Stelling 2 speel?
