Vra 'n calculus-student wat sin x beteken, en jy sal byna seker "oorkant oor skuinssy" hoor. Dis 'n goeie antwoord vir 'n regte driehoek met 'n skerphoek daarin. Dit is 'n heeltemal nuttelose antwoord vir die vraag wat 'n calculus-kursus eintlik beantwoord moet word: wat is sin(−4.7), en hoekom is die afgeleide daarvan cos(−4.7)? SOH-CAH-TOA het niks te sê oor negatiewe getalle nie, of getalle groter as π/2 nie, of hoekom die resulterende funksie hoegenaamd differensieerbaar moet wees nie. Michael Spivak open Hoofstuk 15 van Calculus deur presies dit te erken: "Die definisies van die funksies sin en cos is aansienlik subtieler as wat 'n mens sou verwag." Wat volg, is een van die mees bevredigende herbouwerk in die hele boek.
Waar die Driehoekdefinisie Stilweg Breek
Die probleem is nie dat die driehoekbeeld verkeerd is nie – dit is dat dit radikaal onvolledig is. 'n Regte driehoek het net plek vir hoeke streng tussen 0° en 90°. Die oomblik wat jy sin(150°) of sin(−30°) wil hê, het "oorkant oor skuinssy" reeds sonder driehoek geraak. Handboeke lap dit met ekstra reëls oor tekens in verskillende kwadrante, maar dit is 'n pleister, nie 'n fondament nie. En selfs as jy die aanmekaargelapte funksie aanvaar, sê niks daaroor dat dit differensieerbaar is nie, wat die een eienskap is wat calculus eintlik benodig. Spivak wil hê sin en cos moet egte funksies op alle R wees, gebou uit definisies wat presies genoeg is om dinge oor te bewys – nie 'n opsoektabel van driehoekverhoudings met kwadrantreëls wat vasgeskroef is nie.
Eers Moet Jy die Hoek Self Definieer
Spivak se oplossing begin verder terug as wat jy sou verwag: voordat jy sinus definieer, moet jy vasstel wat 'n hoek is, as 'n getal. Hy stel dit op met behulp van gerigte hoeke — pare halflyne vanaf 'n gemeenskaplike punt — en merk op dat as jy altyd een halflyn langs die positiewe horisontale as vasmaak, 'n gerigte hoek heeltemal beskryf word deur waar die ander halflyn die eenheidsirkel kruis: 'n punt (x, y) met x² + y² = 1. Dit is reeds 'n verbetering, aangesien elke reële punt op die sirkel nou ooreenstem met 'n sekere hoek, heeltemal rond en weer terug.
Maar jy moet steeds 'n getal aan daardie hoek heg, en hier wys Spivak op 'n werklik subtiele kwessie wat die meeste kursusse ignoreer: "grade" vereis dat jy reeds weet wat "90 grade" of "√2 grade" beteken, wat sirkelvormig is. Die oplossing is radiale maat: gegewe 'n getal x, loop teenkloksgewys langs die eenheidsirkel, beginnende by (1, 0) 'n afstand van presies x, en noem die punt waarop jy land "die hoek van x radiale." Dit is die eerste werklike voordeel daarvan om in booglengte te dink in plaas van gradeboogmerkings – dit definieer 'n hoek vir elke reële getal, positief of negatief, en draai outomaties elke 2π om.
Die Werklike Definisie: Oppervlakte, Nie Lengte Nie
Booglengte is intuïtief, maar Spivak wys daarop dat dit tegnies ongemaklik is om op hierdie stadium mee te werk (om die lengte van 'n kromme streng te definieer, vereis werklike meganismes), dus herformuleer hy die hele ding in terme van oppervlakte, wat die boek reeds met integrale vasgepen het. Hy begin deur π self as 'n getal vas te pen, sonder om te verwys na sirkels wat rond is:
π = 2·∫−11 √(1−x²) dx
Dit wil sê: π word gedefinieer as twee keer die oppervlakte van die boonste eenheid-halfkring. Daarna volg die funksie wat al die regte werk doen: vir −1 ≤ x ≤ 1, laat A(x) die oppervlakte wees van die sirkelsektor tussen die positiewe horisontale as en die halflyn deur die punt (x, √(1−x²)). Deur die oppervlakte van 'n driehoek plus die oppervlakte onder 'n kromme uit te werk, gee die eksplisiete formule
A(x) = [x·√(1−x²)] / 2 + ∫x1 √(1−t²) dt
Nou is die definisie van cosinus en sinus, vir 0 ≤ x ≤ π, presies die teenoorgestelde van wat jy uit die driehoekbeeld sou raai: cos x word gedefinieer as die unieke getal in [−1, 1] waarvoor A(cos x) = x/2, en dan word sin x gedefinieer as √(1 − (cos x)²). In plaas daarvan om met 'n hoek te begin en 'n verhouding te vra, begin jy deur 'n sektor van 'n spesifieke oppervlakte, x/2, te eis, en cos x is watter getal ook al dit waar maak. Om te bewys dat so 'n getal hoegenaamd bestaan, vereis 'n beroep op die Tussenwaarde-stelling, aangesien A deurlopend is en afneem van A(−1) = π/2 tot A(1) = 0. Eers daarna brei Spivak die definisie verder as [0, π] uit met 'n eksplisiete stuksgewyse reël wat 2π-periode gebruik, en produseer uiteindelik funksies wat op die hele reële lyn gedefinieer is.
Die Uitbetaling: Die Afgeleides Val Gratis Uit
Dit is hoekom al daardie masjinerie sy bestaansreg verdien. Omdat cos nou letterlik as 'n inverse funksie (van B(x) = 2A(x)) gedefinieer word, kan Spivak dit differensieer met behulp van die inverse funksie reël, en dit kos amper niks:
A′(x) = −1 / (2√(1−x²)) ⇒ cos′(x) = −√(1−(cos x)²) = −sin x
en dan, deur sin x = √(1−(cos x)²) direk te differensieer, val sin′(x) = cos x in drie reëls uit. Niks hier is veronderstel nie — dit is bewys, met niks anders as die Fundamentele Stelling van Calculus en die inverse funksie reël nie, uit 'n definisie wat geheel en al uit integrale gebou is.
'n Konkrete Gevolg: Die Optelformule, Gratis
Die mees opvallende uitbetaling kom 'n paar bladsye later. Spivak bewys 'n lemma: as f oral 'n tweede afgeleide het en aan f″ + f = 0 voldoen met f(0) = f′(0) = 0, dan is f identies nul — deur op te merk dat (f′)² + f² konstant en gelyk aan 0 is. Uit hierdie een lemma wys hy dat enige funksie wat aan f″ + f = 0 voldoen, volledig bepaal word deur f(0) en f′(0): spesifiek f = f′(0)·sin + f(0)·cos. Dan, deur enige getal y vas te stel en f(x) = sin(x + y) te definieer, kan jy kyk f″ + f = 0 met f(0) = sin y en f′(0) = cos y — en die bostaande stelling gee jou, met wesenlik geen trigonometriese manipulasie hoegenaamd nie, die optelformule sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. 'n Formule wat geslagte studente memoriseer uit 'n prentjie van twee opmekaargestapelde driehoeke, blyk 'n een-paragraaf gevolg van 'n differensiaalvergelyking te wees.
Dit is die ware argument om sinus en cosinus op hierdie manier te bou: die definisie is nie meer rigoureus net om 'n pedant te bevredig nie, dit is meer produktief. Sodra sin en cos eerlike funksies is wat uit oppervlaktes en integrale gebou is, word hul afgeleides, hul uitbreiding na alle R, en hul optelformules alles kort bewyse in plaas van dinge wat jy op geloof moet aanvaar. As jy die volle argument wil sien — insluitend hoe Spivak die grenssituasies hanteer en 'n selfs vinniger roete deur arcsin in Hoofstuk 18 vooruitloop — word dit in volledige detail uiteengesit in Spivak se Calculus, 4de Uitgawe.
Watter definisie sou jy liewer 'n hele teorie op bou: die een met 'n driehoek, of die een met 'n integraal?
