Die Gesig Is Nie die Definisie Nie
Elke calculusstudent leer om 'n grafiek vlugtig te bekyk en dit "glimlaggend" of "fronsend," konkaaf op of konkaaf af te noem. Dit is 'n goeie geheuehulp, maar dit is nie wiskunde nie — dit is 'n beskrywing van 'n prentjie, nie 'n eienskap waaruit jy sou kon hoop om iets te bewys nie. Spivak se Calculus wy 'n volle bylaag na Hoofstuk 11 om dit presies te maak, en die moeite loon: sodra konveksiteit 'n eerlike definisie het, kan jy regte stellings bewys oor waar raaklyne lê, hoekom f′ optree soos dit doen, en hoe om die presiese punte te vind waar 'n kurwe sy buigrigting verander — nie deur te skrefies te trek nie, maar deur berekening.
Definisie 1: 'n Koord Wat Nooit Onder die Grafiek Duik Nie
Hier is die werklike definisie. 'n Funksie f is konveks op 'n interval as, vir alle a en b in daardie interval, die reguitlynsegment wat (a, f(a)) en (b, f(b)) verbind, bo die grafiek van f lê. Dis dit — geen afgeleides word vereis nie. Trek enige twee punte op die kurwe, verbind hulle met 'n koord, en as daardie koord nooit onder die kurwe tussen hulle duik nie, is die funksie daar konveks. (Verruil "bo" vir "onder" en jy kry konkaaf; konkawe funksies is presies die funksies van die vorm −f waar f konveks is, so elke stelling oor konveksiteit het 'n gratis tweeling vir konkaafheid.)
Hierdie geometriese stelling vertaal in 'n algebraïese een. Die koord tussen die twee punte is die grafiek van
g(x) = [f(b) − f(a)] / (b − a) · (x − a) + f(a),
en na vereenvoudiging van die ongelykheid g(x) > f(x), kom Spivak by 'n skoner, meer nuttige herformulering aan:
Definisie 2. f is konveks op 'n interval as, wanneer ook al a < x < b in die interval,
[f(x) − f(a)] / (x − a) < [f(b) − f(a)] / (b − a).
In woorde: die helling van a tot by enige tussenliggende punt x is altyd minder as die helling al die pad van a tot b. Helling van sekantlyne neem toe soos jy die regter eindpunt verder uitskuif. Daardie enkele feit is die enjin agter alles wat volg.
Hoekom Dit Meer Is As 'n Skets-truuk
Dit sou maklik wees om konveksiteit onder "ekstra detail vir mooi grafieke" te plaas, en Spivak erken dit — die definisies word eers na die grafiek-sketsing andersins voltooi is, bekendgestel. Maar die rede waarom die bylaag hoegenaamd bestaan, is dat konveksiteit iets veel stewiger blyk te beheer: die verhouding tussen 'n funksie en sy eie raaklyne. Spivak bewys, as Stelling 1, dat as f konveks en differensieerbaar is by a, dan lê die hele grafiek van f bo die raaklyn by (a, f(a)), en raak dit slegs op daardie een punt. En as a < b, dan is f′(a) < f′(b) — die afgeleide self is 'n toenemende funksie.
Daardie tweede feit is die skarnier wat konveksiteit met die tweede afgeleide verbind. Stelling 2 toon die omgekeerde: as f differensieerbaar is en f′ toenemend is, dan is f konveks. Aangesien f″ > 0 presies is wat vir jou sê f′ is toenemend, gee dit die weergawe van die definisie wat die meeste mense eintlik onthou: 'n tweemaal-differensieerbare funksie is konveks op 'n interval waar sy tweede afgeleide positief is daar. Die koord-bo-die-grafiek-toestand en die raaklyn-onder-die-grafiek-toestand en die "tweede afgeleide positief"-toestand is drie gesigte van een onderliggende feit, en Spivak bewys die ekwivalensies eerder as om dit te beweer — die bewyse gebruik niks meer gesofistikeerd as die Gemiddelde Waardestelling en 'n slim hulpfunksie nie, maar dit is opregte bewyse, nie beroepe op 'n prentjie nie.
'n Uitgewerkte Voorbeeld: Waar Buig f(x) = 1/(1 + x²)?
Spivak werk deur f(x) = 1 / (1 + x²) as 'n toetsgeval, en dit is die moeite werd om dit deur te loop, want dit wys hoe die masjinerie sy nut bewys. Eerste afgeleide:
f′(x) = −2x / (1 + x²)²,
wat slegs nul is by x = 0, positief vir negatiewe x, negatief vir positiewe x — so die grafiek styg tot 'n enkele piek by (0, 1) en daal weg na nul aan beide kante, 'n klokvormige vorm. Tot dusver is dit gewone eerste-afgeleide-analise. Die tweede afgeleide is waar konveksiteit intree:
f″(x) = 2(3x² − 1) / (1 + x²)³.
Dit verdwyn presies by x = ±√(1/3), en aangesien dit kontinu is, moet dit konstante teken behou op elk van die drie intervalle wat daardie twee punte uitsny. Deur een punt in elk te kontroleer — f″(−1) = 1/2 > 0, f″(0) = −2 < 0, f″(1) = 1/2 > 0 — vertel jou die hele storie: f is konveks op (−∞, −√(1/3)) en op (√(1/3), ∞), en konkaaf op die middelste stuk (−√(1/3), √(1/3)). Die klokvorm is nie eenvormig gekrom soos 'n parabool nie; dit het opregte konvekse "vlerke" wat 'n konkawe "kap" omring, en die twee kruispunte, waar die raaklyn eintlik deur die kurwe steek eerder as om aan een kant te bly, word infleksiepunte genoem.
'n Waarskuwing Ingebou in die Definisie
Dit is aanloklik om te dink f″(a) = 0 dui outomaties 'n infleksiepunt aan, maar Spivak is versigtig om daardie kortpad met 'n tweede voorbeeld te blokkeer: vir f(x) = x⁴, is f″(0) = 0, tog is f oral konveks, en sy raaklyn by die oorsprong kruis die grafiek glad nie. Om 'n infleksiepunt werklik te sertifiseer, benodig jy f″ om van teken te verander aan weerskante van a — nie bloot om daar aan nul te raak nie. Dit is 'n klein onderskeid, maar dit is presies die soort presisie wat "die grafiek lyk asof dit hier buig" skei van 'n bewering wat jy werklik kan verdedig.
Dit is die bylaag in miniatuur: 'n geometriese idee ('n koord wat bo 'n kurwe bly) verander in 'n algebraïese toestand, dan verbind — via opregte bewyse, nie handswaai nie — met die tweede afgeleide wat jy reeds geweet het hoe om te bereken. As jy die volle ketting van stellings wil sien, insluitend die moeiliker omgekeerde resultate en die verband met Jensen se ongelykheid waartoe die probleme opbou, is dit alles uiteengesit in Spivak se Calculus, 4de Uitgawe.
Volgende keer as jy 'n kurwe skets, kan jy wys waar dit konveks is en dit bewys — nie net sien nie?
